Volver a Guía

CURSO RELACIONADO

Análisis Matemático 66

2025 PALACIOS PUEBLA

¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰

Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 4 - Funciones elementales II

Anterior Siguiente
7. Utilizando las propiedades de simetría y periodicidad, resuelva exactamente las siguientes ecuaciones en los dominios indicados:
b) sen⁡(3x)=−12,x∈[−π2,7π2]\operatorname{sen}(3 x)=-\frac{1}{2}, x \in\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}\right]

Respuesta

⚠️ No creo que haga falta aclararlo, pero para resolver todos los ejercicios de este item es indispensable que primero hayas visto las tres clases de Funciones Trigonométricas (principalmente la primera y la tercera). 

Tenemos que resolver la ecuación sin⁡(3x)=−12\sin(3 x)=-\frac{1}{2}. Vamos a resolverla primero de manera general y después nos quedamos sólo con las soluciones que pertenecen al intervalo que nos piden, [−π2,7π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}].

Lo primero que nos conviene pensar es en la circunferencia unitaria, entre 00 y 2π2\pi, y pensar para qué ángulos sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2}. Acordate que el seno es negativo en el tercer y en el cuadrante, y sabemos que en el primer cuadrante sin⁡(π6)=12\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}. Por lo tanto, buscamos los ángulos "equivalentes" a π6\frac{\pi}{6} en el tercer y cuarto cuadrante. Nos queda:

✅ Tercer cuadrante: π+ π6=76π\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6} \pi

✅ Cuarto cuadrante: 2π− π6=116π2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6} \pi

Muy bien, o sea que todas las soluciones de la ecuación sin⁡(x)=−12\sin(x) = -\frac{1}{2} son:

x= 76π+2kπx = \frac{7}{6} \pi + 2k\pi y x= 116π+2kπx = \frac{11}{6} \pi + 2k\pi

Ahora hay que ajustar varias cosas acá, porque nuestra ecuación es sin⁡(3x)= −12\sin(3x) = -\frac{1}{2}. Entonces, como vimos en clase, lo que hacemos es igualar las soluciones que obtuvimos recién a 3x3x

Primer grupo de soluciones

3x= 76π+2kπ3x = \frac{7}{6} \pi +2k\pi

Despejamos xx

x= 718π+23kπx = \frac{7}{18} \pi +\frac{2}{3}k\pi

Ahora empezamos a probar con distintos valores de kk para ver cuáles de todas estas infinitas soluciones caen en nuestro intervalo [−π2,7π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}]

- Para k=−1k = -1, x=−5π18x = -\frac{5\pi}{18}, que está en el intervalo
- Para k=0k = 0, x=7π18x = \frac{7\pi}{18}, que está en el intervalo.
- Para k=1k = 1, x=19π18x = \frac{19\pi}{18}, que también está en el intervalo.
- Para k=2k = 2, x=31π18x = \frac{31\pi}{18}, que todavía está en el intervalo.
- Para k=3k = 3, x=43π18x = \frac{43\pi}{18}, que sigue estando en el intervalo.

- Para k=4k = 4, x=55π18x = \frac{55\pi}{18}, que sigue estando en el intervalo.

Con k=5k = 5 ya nos pasamos y la solución no está en el intervalo. Y aclaración, lo mismo probá con k=−2k=-2 que tampoco está en el intervalo. Por lo tanto, estas son todas las soluciones que obtenemos de esta primera tanda. Vamos ahora a buscar las otras. 

Segundo grupo de soluciones

3x= 116π+2kπ3x = \frac{11}{6} \pi +2k\pi

Despejamos xx

x= 1118π+23kπx = \frac{11}{18} \pi +\frac{2}{3}k\pi

De nuevo, empezamos a probar con distintos valores de kk para ver cuáles de todas las soluciones caen en nuestro intervalo:

- Para k=−1k = -1, x=−π18x = -\frac{\pi}{18}, que está en el intervalo.
- Para k=0k = 0, x=11π18x = \frac{11\pi}{18}, que está en el intervalo.
- Para k=1k = 1, x=23π18x = \frac{23\pi}{18}, que también está en el intervalo.
- Para k=2k = 2, x=35π18x = \frac{35\pi}{18}, que todavía está en el intervalo.
- Para k=3k = 3, x=47π18x = \frac{47\pi}{18}, que sigue estando en el intervalo. 

- Para k=4k = 4, x=59π18x = \frac{59\pi}{18}, que sigue estando en el intervalo.

Y acá frenamos, porque con k=5k = 5 ya me pasé del intervalo. Lo mismo, si vas para atrás, con k=−2k=-2 también ya te saliste fuera del intervalo. Y bueno, estas son toooodas las otras soluciones que salieron de esta tanda. Las soluciones a la ecuación del enunciado son todas estas más las de la primera tanda. 
Reportar problema
ExaComunidad
Iniciá sesión o Registrate para dejar tu comentario.
Malena
1 de mayo 17:56
Hola! hay alguna manera no a ojo de comprobar que los resultados vayan estando adentro del intervalo?
0 Responder
Flor
PROFE
2 de mayo 9:27
@Malena Hola Male! Mirá, te cambio apenitas el enunciado: Si vos tuvieras por ejemplo este mismo ejercicio con sin⁡(x)\sin(x) en vez de sin⁡(3x)\sin(3x), ahí si sería "más fácil", graficando la circunferencia, entendiendo bien qué implica el intervalo [−π2,7π2][-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}] y conociendo las soluciones entre 00 y 2π2\pi, razonar el resto de las soluciones (me refiero a sin empezar a probar con los kk y viendo si cae adentro del intervalo o no)

Ya en este escenario, donde te cambia la frecuencia y tenés sin⁡(3x)\sin(3x) es mucho más difícil y sin dudas yo eligiría resolverlo así, si entendés los razonamientos que seguimos seguro no te vas a confundir. Aclaro por las dudas que para ver si cada solución cae o no en el intervalo te vas ayudando con la calculadora eh jaja o sea no lo hagas tan a ojo porque hay chances de error 😅
0 Responder