⚠️ No creo que haga falta aclararlo, pero para resolver todos los ejercicios de este item es indispensable que primero hayas visto las tres clases de Funciones Trigonométricas (principalmente la primera y la tercera). 

Lo primero que nos conviene pensar es en la circunferencia unitaria, entre $0$ y $2\pi$, y pensar para qué ángulos $\sin(x) = -\frac{1}{2}$. Acordate que el seno es negativo en el tercer y en el cuadrante, y sabemos que en el primer cuadrante $\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$. Por lo tanto, buscamos los ángulos "equivalentes" a $\frac{\pi}{6}$ en el tercer y cuarto cuadrante. Nos queda:

✅ Tercer cuadrante: $\pi + \frac{\pi}{6} = \frac{7}{6} \pi$

✅ Cuarto cuadrante: $2\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{11}{6} \pi$

Muy bien, o sea que todas las soluciones de la ecuación $\sin(x) = -\frac{1}{2}$ son:

$x = \frac{7}{6} \pi + 2k\pi$ y $x = \frac{11}{6} \pi + 2k\pi$

Ahora hay que ajustar varias cosas acá, porque nuestra ecuación es $\sin(3x) = -\frac{1}{2}$. Entonces, como vimos en clase, lo que hacemos es igualar las soluciones que obtuvimos recién a $3x$

$3x = \frac{7}{6} \pi +2k\pi$

Despejamos $x$

$x = \frac{7}{18} \pi +\frac{2}{3}k\pi$

Ahora empezamos a probar con distintos valores de $k$ para ver cuáles de todas estas infinitas soluciones caen en nuestro intervalo $[-\frac{\pi}{2}, \frac{7 \pi}{2}]$

- Para $k = -1$, $x = -\frac{5\pi}{18}$, que está en el intervalo

- Para $k = 0$, $x = \frac{7\pi}{18}$, que está en el intervalo.

- Para $k = 1$, $x = \frac{19\pi}{18}$, que también está en el intervalo.

- Para $k = 2$, $x = \frac{31\pi}{18}$, que todavía está en el intervalo.

- Para $k = 3$, $x = \frac{43\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo.

- Para $k = 4$, $x = \frac{55\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo.

Con $k = 5$ ya nos pasamos y la solución no está en el intervalo. Y aclaración, lo mismo probá con $k=-2$ que tampoco está en el intervalo. Por lo tanto, estas son todas las soluciones que obtenemos de esta primera tanda. Vamos ahora a buscar las otras. 

De nuevo, empezamos a probar con distintos valores de $k$ para ver cuáles de todas las soluciones caen en nuestro intervalo:

- Para $k = -1$, $x = -\frac{\pi}{18}$, que está en el intervalo.

- Para $k = 0$, $x = \frac{11\pi}{18}$, que está en el intervalo.

- Para $k = 1$, $x = \frac{23\pi}{18}$, que también está en el intervalo.

- Para $k = 2$, $x = \frac{35\pi}{18}$, que todavía está en el intervalo.

- Para $k = 3$, $x = \frac{47\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo. 

- Para $k = 4$, $x = \frac{59\pi}{18}$, que sigue estando en el intervalo.

Y acá frenamos, porque con $k = 5$ ya me pasé del intervalo. Lo mismo, si vas para atrás, con $k=-2$ también ya te saliste fuera del intervalo. Y bueno, estas son toooodas las otras soluciones que salieron de esta tanda. Las soluciones a la ecuación del enunciado son todas estas más las de la primera tanda.